Sistemi di equazioni sottoderminati e sovradeterminati

Cosa sono i sistemi di equazioni? Qual è l’idea che si cela dietro di essi? Cosa significa che un sistema è sovradeterminato o sottodeterminato? E perché può accadere che un sistema abbia infinite soluzione, oppure che non ne abbia?

Sistemi di equazioniI sistemi di equazioni sono un’evoluzione delle equazioni. Tuttavia, il salto logico non è così banale e molti ragazzi imparano a risolverli ma non sanno dire che cosa rappresentino i sistemi di equazioni. Spiegheremo quale sia l’intuizione dietro ai sistemi di equazioni, cosa significa che un sistema è sovradeterminato oppure sottodeterminato, e perché può accadere che un sistema abbia una sola soluzione, infinite soluzioni o nessuna soluzione.

Intuizione per sistemi di equazioni

Intuitivamente, possiamo pensare a un sistema di equazioni come a un insieme di richieste. Immaginiamo di avere di fronte a noi un gruppo di persone, e di dover dare a ciascuna persona un compito specifico da svolgere.

Un esempio di sistema di equazioni, in modo informale, potrebbe essere il seguente:

  • Anna, risolvi un sistema di equazioni lineari;
  • Giorgio, vai al mare e divertiti;
  • Luca, impedisci ad Anna di chiamare i servizi sociali.

In questa formulazione, una soluzione del sistema di equazioni corrisponde a una lista di accoppiate compito-persona che soddisfa le richieste. In altre parole, esibire una soluzione del sistema significa dire cosa fa Anna, cosa fa Giorgio, e cosa fa Luca (e così via per tutte le persone coinvolte) soddisfacendo le richieste. Nel nostro esempio, Anna deve risolvere un sistema lineare, Giorgio andare al mare, e Luca impedire ad Anna di chiamare i servizi sociali.

Sembra una banalità, o che stiamo semplicemente dicendo l’ovvio. Sarà chiaro tra poco perché abbiamo fatto queste osservazioni, quando analizzeremo i sistemi di equazioni sottodeterminati e sovradeterminati, e le relative soluzioni.

Sistemi di equazioni sovradeterminati

Immaginiamo di avere tantissime persone a cui dover impartire degli ordini. È possibile che, arrivati alle ultime persone, ci dimenticheremo a chi abbiamo già dato gli ordini e a chi no, e ci può succedere di ripetere alcuni ordini.

Per esempio,

  • Anna, fai il bucato;
  • Giorgio, vai al mare;
  • Luca, sporca il bucato ad Anna;
  • Sandro, impedisci a luca di sporcare il bucato;
  • Giorgio, vai al mare.

Qui Giorgio ha ricevuto due volte il suo ordine. In casi come questo, si dice che il sistema di equazioni è sovradeterminato, perché ha più ordini che persone.

Sistemi di equazioni senza soluzione

Bisogna prestare attenzione, perché il surplus di ordini potrebbe essere innocuo, come nell’esempio precedente, oppure no. Supponiamo che, nel dare gli ordini alla folla, vi dimentichiate di aver già ordinato qualcosa a Giorgio e gli diate un altro comando:

  • Anna, fai il bucato;
  • Giorgio, vai al mare;
  • Luca, sporca il bucato ad Anna;
  • Sandro, impedisci a luca di sporcare il bucato;
  • Giorgio, vai ai giardinetti.

Qui Giorgio ha ricevuto due ordini contrastanti fra loro, ed è comprensibilmente confuso: non può contemporaneamente andare al mare e ai giardinetti. In effetti, questo sistema non ha soluzione perché non siamo in grado di esibire una lista di accoppiate persone-compiti come prima. Infatti, se Giorgio andasse al mare starebbe ignorando la richiesta di andare ai giardini, e se andasse ai giardini starebbe ignorando la richiesta di andare al mare. Non c’è via di uscita: non c’è soluzione!

Sono state fatte troppo richieste insieme, e alcune di esse sono contraddittorie. Abbiamo ancora un sistema sovradeterminato, ma stavolta non abbiamo soluzioni. È un po’ come un gioco in cui la seconda regola dice di NON rispettare la prima: è impossibile giocare a un gioco del genere!

Dunque, quando si incontra un sistema di equazioni con più equazioni che indeterminate, non si può adottare una strategia unica. Il sistema può comunque avere, oppure no, una soluzione, e va analizzato per quello che è. Si sa solo per certo che sono stati più ordini che persone: magari lo stesso ordine è stato ripetuto due volte alla stessa persona, o magari due ordini sono contraddittori.

Due righe proporzionali in un sistema di equazioni

Ma attenzione: come in Italiano ci sono tanti modi equivalenti di dire la stessa cosa, anche in matematica vale lo stesso! Un comando non deve ripetersi esattamente, basta che il suo contenuto informativo si ripeta! In altre parole, si considera ripetuto anche un comando come il seguente:

  • Giorgio, vai al mare e fai un bagno;
  • Giorgio, vai a fare un bagno alla spiaggia.

Questo è ciò che significa quando si dice che se ci sono due righe proporzionali in un sistema di equazioni, una si può ignorare. Un’equazione proporzionale a un’altra in un sistema è come un gioco in cui la seconda regola dice di rispettare la prima: una regola inutile!

Esempio matematico

Il più semplice sistema di equazioni sovradeterminato è:

\begin{cases} x = 1 \\ x = 2 \end{cases}

che non ha soluzione perché stiamo chiedendo a x di essere 1 e 2allo stesso tempo. È come chiedere al nostro vicino di essere maschio e femmina insieme!

Sistemi di equazioni sottodeterminati e con infinite soluzioni

Se, invece, diamo meno ordini rispetto alle persone che abbiamo davanti, allora si dice che il sistema corrispondente è sottodeterminato. Quando questo accade, almeno una persona non ha ricevuto alcun comando. Le persone che non ricevono comandi sono libere di fare ciò che desiderano: qualunque cosa sia in loro potere di fare!

Per esempio, immaginiamo di nuovo di avere Giorgio, Anna e Luca di fronte, e di dire:

  • Anna, fai il bucato;
  • Giorgio, vai al mare.

Allora Luca non ha ricevuto alcun comando. Magari impedirà ad Anna di chiamare i servizi sociali, magari andrà ai giardini, magari andrà in bicicletta… ci sono un’infinità di possibilità! E ognuna di queste possibilità costituisce una soluzione, per questo un sistema del genere ha infinite soluzioni.

Osservazioni finali ed esempi

Ad ogni modo, non ci sono regole ferree. Abbiamo visto che sistemi sovradeterminati possono ammettere soluzione, e scopriremo tra poco che sistemi sottodeterminati possono non avere soluzione. Ogni sistema va trattato a parte, ragionando senza cercare scorciatoie mnemoniche.

Es. 1 \begin{cases} x - 2y = 1 - z \\ x + z - 1 = 2y \\ x + z = 1 \\ x = 3 - z \end{cases}     in \mathbb{R}^3
Un sistema che sembra sovradeterminato, ma che in realtà è sottodeterminato e addirittura non ha soluzione.

Es. 2 \begin{cases} x + z = 1 \\ x = 3 - z \end{cases}     in \mathbb{R}^3
Un sistema sottodeterminato che non ha soluzione.

Infine, è chiaro che nella realtà i comandi coinvolgono più di una persona alla volta. Un sistema di equazioni nella vita vera è qualcosa del genere:

\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 2 \end{cases}

Qui l’intuizione si fa più complicata, perché ogni comando mischia almeno due persone, e non può essere tradotto efficacemente nel linguaggio naturale.

Tuttavia, l’analogia dei compiti da svolgere è utile per capire cosa siano i sistemi di equazioni sottodeterminati e sovradeterminati, e perché abbiano infinite o nessuna soluzione.


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