Perché facciamo prima moltiplicazione e divisione, e poi somma e sottrazione?

Perché l’ordine delle operazioni è proprio quello che è? Cosa hanno di così speciale il “per” e il “diviso” perché abbiano precedenza su “più” e “meno”? Si tratta solo di una convenzione, o c’è qualcosa di più sotto?

Scopriremo che c’è una buona ragione per cui svolgiamo le operazioni nell’ordine che ci è stato insegnato a scuola. Prendiamo la questione alla lontana e cerchiamo di capire fino in fondo le ragioni del tradizionale ordine delle operazioni.

Ordine operazioni: perché per e diviso vengono prima di piùmeno

Ordine operazioniDato che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, e lo stesso vale per la sottrazione rispetto alla somma, possiamo limitarci a parlare del per e del più.

Possiamo pensare al più e al per come funzioni (cosa che effettivamente sono), cioè come delle leggi che prendono due numeri e, secondo determinate procedimenti, ne restituiscono un terzo.

Cerchiamo di concretizzare. La somma di due numeri potrebbe essere descritta come un robot che lavora sulle arance: ossia prende un certo numero di arance da una parte del tavolo, un altro numero di arance dall’altra parte del tavolo, le mette al centro e le conta tutte. Il numero che ne deriva è il risultato della funzione somma.

Analogamente, pensiamo al prodotto come al robot che prende delle arance da una parte del tavolo, un certo numero di piatti da un’altra parte del tavolo, e pone un pezzo di ciascuna arancia in ogni piatto. Poi svuota i piatti al centro del tavolo e conta i pezzi di arance; quello è il risultato della moltiplicazione. Per esempio, se il robot deve fare 3 per 2, prende 3 arance e 2 piatti, e mette un pezzo di ciascuno delle arance in ogni piatto. Come risultato si ottengono 6 pezzi di arance.

Ora, noi vogliamo che il nostro robot faccia il meno lavoro possibile. Consideriamo l’espressione 3 + 7 \times 5. Ci sono due modi di svolgerla: fare prima il per e poi il più, oppure viceversa. Facciamo le prove e vediamo se deve lavorare di più se prima fa la moltiplicazione o se prima fa la somma.

  • Prima l’addizione
    Il robot prende 7 arance da una parte, 3 dall’altra, le mette al centro e ne conta 10 totali. Ora prende 5 piatti e vi divide le 10 arance: vengono fuori 50 pezzi.
  • Prima la moltiplicazione
    Il robot prende 7 arance e le divide in 5 piatti: vengono fuori 35 pezzi. Poi prende le altre 3 arance da un altro angolo del tavolo e le conta anch’esse come “pezzi”. Alla fine viene fuori che ci sono 38 pezzi di arance.

Per quanto possa essere veloce, il nostro robot impiegherà sicuramente più tempo a dividere 10 arance in 5 piatti piuttosto che dividerne 7, quindi sarà più lento a completare l’operazione totale.

Fare prima la moltiplicazione permette di maneggiare sempre numeri più piccoli rispetto a che se facessimo prima la somma. In effetti, il nostro modo di fare dà solo vantaggi e veramente nessuno svantaggio. Infatti, nel peggiore dei casi maneggeremo numeri uguali a quelli che otterremmo facendo prima la somma (per esempio, l’espressione 3 + 7 \times 1 viene completata allo stesso modo, e con lo stesso numero di passi, sia che si faccia prima la somma che prima il prodotto).

Ordine operazioni: e se fosse al contrario?

Detto questo, se ci mettessimo tutti d’accordo di fare al contrario, andrebbe bene lo stesso! Fintanto che tutti lo facessero, otterremmo comunque risultati sempre coerenti rispetto alle nostre “regole” (e riusciremmo comunque a spedire i satelliti nello spazio). In altre parole, l’ordine con cui si svolgono le operazioni è vero che è frutto di una convenzione, ma di una convenzione intelligente. Tenere la destra o la sinistra in auto è indifferente, basta mettersi d’accordo, mentre abbiamo visto che fare prima il più e poi il per farebbe una bella differenza!

Questa può sembrare una baggianata, ma in realtà dovremmo davvero ringraziare profondamente gli antichi per quella che ci sembra una scelta convenzionale o casuale. La loro scelta ci permette di essere efficienti con i calcoli.

Quest’ordine delle operazioni è affascinante anche perché segue uno dei principi fondamentali della natura. Infatti, nell’universo tutte le cose tendono a porsi in modo tale da avere la minima energia potenziale possibile. Per esempio, le cose non stanno a mezz’aria se qualcuno non ce le tiene, perché avrebbero un’energia gravitazionale non minima. Allo stesso modo, noi tendiamo a fare i conti con il minor sforzo possibile, avendo numeri quanto più piccoli possibile.

Ordine operazioni: perché allora si fa prima l’elevamento a potenza?

Un modo per determinare la bontà di una teoria è vedere se riesce a spiegare tutte le sfaccettature del fenomeno che si studia. Ci aspettiamo che questa faccenda dei numeri piccoli spieghi anche perché l’elevamento ha precedenza sulla moltiplicazione.

Pensiamo alla potenza 3^4. Il nostro robot farebbe come segue: prende 3 arance e le divide in 3 parti. Poi divide ogni parte in 3 parti… e così via 4 volte. Qui è ancora più evidente che se il robot avesse avuto anche solo un’arancia in più, i pezzi che avrebbe dovuto dividere e dividere e dividere sarebbero lievitati notevolmente!

Quindi anche in questo caso svolgere prima le potenze è il metodo migliore per lavorare con numeri il più piccoli possibile!


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