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Didattica della matematica creativa e intuitiva. Metodi per spiegare argomenti matematici ordinari in modo straordinario. Argomenti di base, come le equazioni, le moltiplicazioni, le operazioni… tutti esposti non secondo procedure, ma secondo idee e riferimenti alla vita pratica. Una didattica della matematica moderna.

Dividere per zero: perché non si può fare?

Perché non si può dividere per zero? Cosa ha di così speciale questo numero per rendere la divisione impossibile?

dividere per zero calcolatriceAvete mai provato a dividere un numero per zero con la calcolatrice? Se provate, scoprirete che anche la calcolatrice si rifiuta di farlo! E, in effetti, a scuola ci hanno sempre detto che non si può fare: non si può dividere per zero.

Ma in matematica tutte le cose hanno una ragione, e la divisione per zero non fa eccezione. Cerchiamo di scoprire perché non si possa dividere per zero, con una spiegazione che anche i bimbi possono capire!

Perché non si può dividere per zero

Tutte le volte che in matematica si dà una risposta a un problema, è importante che tale risposta sia sensata. Non giusta, ma sensata! Dare una risposta sensata, in effetti, è fin più importante della sua esattezza… Nel caso della divisione per zero, il problema è che non è possibile trovare una risposta sensata. Per scoprire perché, facciamo un piccolo viaggio tra i numeri!

Per cominciare, proviamo a vedere cosa succede a dividere il numero dieci per dei numeri che diventano via via più piccoli.

Dividendo Divisore Risultato
10 \div 5 2
10 \div 3 3.33
10 \div 2 5
10 \div 1 10
10 \div 0.5 20
10 \div 0.25 40
10 \div 0.10 100
10 \div 0.05 200
10 \div 0.01 1000
10 \div 0.001 10000

Fermiamoci a osservare questi numeri: più il numero per cui dividiamo diventa piccolo, più il risultato diventa grande! E allora, cosa succederebbe se dividessimo proprio per zero? Sembra, fin qui che verrebbe infinito! Infinito non è un numero come tutti gli altri, ma è pur sempre una risposta… ed è sensata! Ma perché allora non va bene?

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Kaboom: un gioco matematico per potenziare il calcolo a mente

Come allenare il calcolo a mente nei bambini, senza farli annoiare? Il gioco matematico Kaboom ne è un perfetto esempio: stecchini dei gelati e operazioni a mente!

Kaboom: come imparare la matematica divertendosi

Kaboom: gioco matematico per potenziare il calcolo a menteIl calcolo a mente è molto trascurato nei curriculum tradizionali, ed è difficile trovare delle buone occasioni di praticarlo con i bambini. In realtà, bastano pochi semplici materiali per dare vita a un gioco matematico di grande divertimento, in grado di potenziare le capacità di calcolo mentale dei bimbi di ogni età.

Cosa serve

Cosa fare

Per preparare il gioco, segniamo dei calcoli matematici o semplici tabelline sugli stecchini, e mettiamoli all’interno di un contenitore. Ogni stecchino dovrebbe riportare un singolo calcolo. La difficoltà del gioco è variabile a secondo delle conoscenze matematiche dei bimbi: nei casi più semplici possiamo limitarci a piccole operazioni, mentre per bimbi già capaci possiamo arrivare anche a delle espressioni.

Kaboom: gioco matematico per potenziare il calcolo a menteIl numero di stecchini è proporzionale al numero dei giocatori: per una durata del gioco normale, 11 stecchini a bambino vanno più che bene. Su 10 di questi stecchini scriviamo sopra un’operazione, e sull’ultimo scriviamo la parola Kaboom. Teniamo conto che i calcoli saranno svolti solo a mente, quindi non esageriamo con la difficoltà!

Quando il materiale è pronto, mettiamo i bambini a loro agio in modo che siano ben attenti e pronti al gioco!

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Successioni numeriche: spiegazione ed esempi

Le successioni numeriche sono degli ottimi giochi matematici per allenare l’occhio matematico a tutti i livelli! Ve ne proponiamo alcune: riuscite a scoprire quali sono i termini successivi?

Per non rovinarvi la sorpresa e il gioco, le soluzioni non sono in questa pagina! Le abbiamo messe in una pagina a parte: Soluzioni. Ma aspetta: non andarci ancora!

Introduzione – Cos’è una successione numerica?

Una successione numerica non è altro che una lista infinita di numeri che seguono una certa legge. L’esempio più elementare di successione numerica è costituita dai numeri naturali stessi: la legge che li lega è che per ottenere il termine successivo bisogna aggiungere uno al precedente.

Le tabelline sono un altro semplice esempio di successioni numeriche. Per esempio la tabellina del due è una successione in cui, per ottenere il numero successivo, bisogna aggiungere 2 al termine precedente.

È utile per i bambini cimentarsi con le successioni perché affinano la loro capacità di rendersi conto della presenza di uno schema ricorrente nelle cose, e di capire quale esso sia. La ricerca delle regolarità nelle cose è il più matematico e scientifico degli atti. Ci si allena con i numeri per essere poi capaci di riconoscere gli schemi ricorrenti negli eventi della vita!

Giochi matematici  – Successioni numeriche facili

Iniziamo con qualche sequenza numerica di riscaldamento… Riuscite a scoprire qual è il termine mancante nelle tre successioni seguenti? E riuscite a individuare il decimo termine delle sequenze? Queste sequenze sono particolarmente adatte ai bimbi piccoli, per esempio della scuola primaria.

Giochi matematici - Successioni numeriche Giochi matematici - Successioni numeriche Giochi matematici - Successioni numeriche

Giochi matematici – Successioni numeriche medie

E ora qualche sequenza un po’ più complicata… Ci stiamo addentrando in successioni più difficili, quindi prendetevi tutto il tempo che vi serve! Qui le sequenze iniziano a farsi più toste, più adatte ai ragazzi della scuola media.

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Successioni numeriche – Soluzioni

Questa pagina contiene le soluzioni ai giochi matematici delle successioni numeriche. Se ancora non le hai viste o non hai provato a risolverle, dacci un’occhiata e prova a risolverli da te! Puoi poi tornare qui a verificare se le tue ipotesi sono corrette!

Soluzioni  – Successioni numeriche facili

Giochi matematici - Successioni numeriche

Questi non sono altro che i numeri primi! Infatti, tutti i numeri elencati (2, 3, 5, 7, 11) condividono la speciale proprietà di essere divisibili solo per uno e per se stessi. Il termine successivo è 13, e poi 17, 19, 23… potete andare avanti all’infinito! In effetti, i numeri primi sono infiniti!

Giochi matematici - Successioni numeriche

A prima vista, 1, 2, 4 potrebbero far pensare alle potenze di due, ma 7 e 11 non lo sono quindi questa non può essere la risposta giusta.

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Sistemi di equazioni sottoderminati e sovradeterminati

Cosa sono i sistemi di equazioni? Qual è l’idea che si cela dietro di essi? Cosa significa che un sistema è sovradeterminato o sottodeterminato? E perché può accadere che un sistema abbia infinite soluzione, oppure che non ne abbia?

Sistemi di equazioniI sistemi di equazioni sono un’evoluzione delle equazioni. Tuttavia, il salto logico non è così banale e molti ragazzi imparano a risolverli ma non sanno dire che cosa rappresentino i sistemi di equazioni. Spiegheremo quale sia l’intuizione dietro ai sistemi di equazioni, cosa significa che un sistema è sovradeterminato oppure sottodeterminato, e perché può accadere che un sistema abbia una sola soluzione, infinite soluzioni o nessuna soluzione.

Intuizione per sistemi di equazioni

Intuitivamente, possiamo pensare a un sistema di equazioni come a un insieme di richieste. Immaginiamo di avere di fronte a noi un gruppo di persone, e di dover dare a ciascuna persona un compito specifico da svolgere.

Un esempio di sistema di equazioni, in modo informale, potrebbe essere il seguente:

  • Anna, risolvi un sistema di equazioni lineari;
  • Giorgio, vai al mare e divertiti;
  • Luca, impedisci ad Anna di chiamare i servizi sociali.

In questa formulazione, una soluzione del sistema di equazioni corrisponde a una lista di accoppiate compito-persona che soddisfa le richieste. In altre parole, esibire una soluzione del sistema significa dire cosa fa Anna, cosa fa Giorgio, e cosa fa Luca (e così via per tutte le persone coinvolte) soddisfacendo le richieste. Nel nostro esempio, Anna deve risolvere un sistema lineare, Giorgio andare al mare, e Luca impedire ad Anna di chiamare i servizi sociali.

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Moltiplicazioni e divisioni per 10, 100, 1000: come spiegarle

Fare moltiplicazioni e divisioni per 10, 100, 1000 sembra una sciocchezza: basta aggiungere o togliere degli zeri, e spostare la virgola se è il caso. Facile se lo si sa già fare, non tanto per un bimbo! Proviamo a esplorare un modo alternativo di spiegare queste operazioni.

Ci sono tanti bimbi che hanno difficoltà a svolgere moltiplicazioni e divisioni per dieci, cento e mille. Spesso le incomprensioni derivano dal fatto che tali operazioni sono presentate al bambino come una cosa nuova, nonostante abbiano a che fare con qualcosa che già conosce. Inoltre spesso il metodo presentato riesce contro-intuitiva al bambino, rendendo ancora più difficile la questione. Proponiamo un metodo alternativo.

Moltiplicazioni per 10, 100, 1000 con furgoncini e caramelle

Moltiplicazioni e divisioni per 10, 100, 1000Si può provare a sottoporre al bimbo la questione nello stesso modo in cui sarebbe opportuno presentargli la moltiplicazione per la prima volta: attraverso un conteggio esplicito. Basta procurarsi una decina di furgoncini giocattolo e una cinquantina di caramelle per un’approccio diverso alle moltiplicazioni per dieci. Tale metodo è particolarmente efficace per bimbi piccoli, basta che sappiano contare almeno fino a 30!

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Perché facciamo prima moltiplicazione e divisione, e poi somma e sottrazione?

Perché l’ordine delle operazioni è proprio quello che è? Cosa hanno di così speciale il “per” e il “diviso” perché abbiano precedenza su “più” e “meno”? Si tratta solo di una convenzione, o c’è qualcosa di più sotto?

Scopriremo che c’è una buona ragione per cui svolgiamo le operazioni nell’ordine che ci è stato insegnato a scuola. Prendiamo la questione alla lontana e cerchiamo di capire fino in fondo le ragioni del tradizionale ordine delle operazioni.

Ordine operazioni: perché per e diviso vengono prima di piùmeno

Ordine operazioniDato che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, e lo stesso vale per la sottrazione rispetto alla somma, possiamo limitarci a parlare del per e del più.

Possiamo pensare al più e al per come funzioni (cosa che effettivamente sono), cioè come delle leggi che prendono due numeri e, secondo determinate procedimenti, ne restituiscono un terzo.

Cerchiamo di concretizzare. La somma di due numeri potrebbe essere descritta come un robot che lavora sulle arance: ossia prende un certo numero di arance da una parte del tavolo, un altro numero di arance dall’altra parte del tavolo, le mette al centro e le conta tutte. Il numero che ne deriva è il risultato della funzione somma. Fin qui niente di troppo difficile: se voglio fare 3 + 2, immagino di avere 3 arance da una parte, 2 arance dall’altra, di metterle tutte vicine e poi contare fino a 5.

Proviamo a proporre un ragionamento simile per la moltiplicazione. Per far questo, pensiamo alla moltiplicazione come al robot che prende delle arance da una parte del tavolo, un certo numero di piatti da un’altra parte del tavolo, e pone un pezzo di ciascuna arancia in ogni piatto. Poi svuota i piatti al centro del tavolo e conta i pezzi di arance; quello è il risultato della moltiplicazione.

Per esempio, se il robot deve fare 3 per 2, prende 3 arance e 2 piatti, e mette un pezzo di ciascuno delle arance in ogni piatto. Come risultato si ottengono 6 pezzi di arance. Si tratta di un processo un po’ contro-intuitivo, che sembra per certi versi ricordare la divisione più che la moltiplicazione, ma l’effetto di porre un pezzo di ogni arancio in ciascun piatto è di moltiplicare le arance!

Ora, noi vorremmo che il nostro robot facesse il meno lavoro possibile. Consideriamo l’espressione 3 + 7 \times 5. Ci sono due modi di svolgerla: fare prima il per e poi il più, oppure viceversa. Facciamo le prove e vediamo se deve lavorare di più se prima fa la moltiplicazione o se prima fa la somma.

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